Архив задач олимпиады по математике и криптографии
Разрезание квадрата
Докажите, что для каждого натурального n≥5 квадрат можно разрезать на n прямоугольников (не обязательно одинаковых), у каждого из которых одна сторона вдвое больше другой. Резать разрешается по линиям, параллельным сторонам исходного квадрата.
Если квадрат уже разрезан на k прямоугольников с отношением сторон 2:1, то его можно разрезать и на k+3 таких прямоугольников. Действительно, для этого достаточно один из этих k прямоугольников, разрезать на четыре прямоугольника, у каждого из которых стороны также относятся как 2:1 (Рис.I). Таким образом, для завершения доказательства остается показать, что квадрат можно разрезать на n=5,6 и 7 прямоугольников указанного вида. Соответствующие линия разреза приведены на Рис.II–IV. Для удобства сторона квадрата принята равной 24.
