Разложить на простые множители число 320+34+1, если известно, что оно делится на 167.
Несколько участников нашли правильный ответ просто не побоявшись «в лоб» вычислить указанное число, поделить его на 167 и далее подбирать простые делители по возрастанию.
Решение с меньшим объемом вычислительной работы выглядит так. Выполним замену 34=x. Тогда наше число примет вид x5+x+1. Разложим его на множители:
x5+x+1=x5+x+1+x4-x4+x3-x3+x2-x2=x5+x4+x3+x2+x+1-x4-x3-x2=x3(x2+x+1)+x2+x+1-x2(x2+x+1)=(x2+x+1)(x3-x2+1)
Первый множитель x2+x+1 также может быть разложен:
x2+x+1=38+34+1=38+2·34+1-34=(34+1)2-34=(34+32+1)(34-32+1)=91·73=7·13·73
Со вторым множителем дело обстоит чуть сложнее. Постараемся воспользоваться уже имеющейся информацией. Для этого запишем x3-x2+1 в виде x·(x2+x+1)+x+3
Заметим, что x+3=81+3=84 делится на 7. Кроме того мы установили, что на 7 делится число x2+x+1, а значит и число x3-x2+1 также делится на 7. Таким образом,
x3-x2+1=x·7·13·73+84=7·(34·13·73+12)
Вычисляя далее значение выражения в скобках и деля его на 167, получаем
34·13·73+12=167·449