Уравнение пятой степени

Докажите, что уравнение

имеет один действительный корень и найдите его.

• Решение

Решение

Пусть f(x) = x⁵ + 5x³ + 5x - 1. Тогда fў(x) = 5x⁴ + 15x² + 5 > 0 для всех х, следовательно, функция f(x) строго возрастает на всей числовой оси и уравнение f(x) = 0 имеет ровно один корень. (Поскольку f(0) = -1 и f(1) = 10, этот корень лежит на интервале (0;1).) Будем искать корень в виде x = u + v. Возведем это равенство в пятую степень:

x⁵ = (u + v)⁵ = u⁵ + 5u⁴v + 10u³v² + 10u²v³ + 5uv⁴ + v⁵ =
=u⁵ + v⁵ + 5uv(u³ + v³) + 10u²v²(u + v).

Сумму кубов u³ + v³ запишем в виде (u + v)((u + v)² -3uv) и с учетом того, что x = u + v, получим x⁵ = u⁵+ v⁵ + 5uvx(x² - 3uv) + 10u²v²x. Окончательно x⁵ -5uvx³ + 5u²v²x - (u⁵ + v⁵) = 0. Сравнивая эту запись с исходным уравнением, получаем

Возведем первое уравнение системы в 5-ю степень и выполним замену u⁵ = a, v⁵ = b. Тогда

Отсюда a = [(-1 + Ц5)/2], b = [(-1-Ц5)/2].
• Ответ

Ответ

x = ⁵Ц{[(-1 + Ц5)/2]} +⁵Ц{[(-1-Ц5)/2]}.