Найдите:
а) Большинство участников с этой задачей справились. Для ее решения надо рассмотреть последовательность степеней двойки и обнаружить закономерность: 21 =2, 22=4, 23 = 8, 24 = ...6, 25 = ...2 и т.д. Последние цифры 2, 4, 8, 6 периодически повторяются. Таким образом, 22002 = (2500)4·22 = (...6)4 ·4 = ...6 ·4 = ...4. Последняя цифра — 4.
б) Для решения задачи следует рассмотреть остатки степеней двойки при делении на 1000, т.е. три последние цифры. Предложим несколько решений данной задачи.
Первое решение. Некоторые школьники, используя умножение на 2, получили степени двойки до 2103 включительно и при этом заметили, что 23=8 и 2103=... 008, а перед этим было число 2102=...504. Значит, последовательность остатков 008,..., 504 длины 100 повторяется, начиная с 23. Таким образом, на число 2002 приходится остаток 504.
Второе решение. Легко получить следующие соотношения:
Выписав 4 произведения трехзначных чисел, дальше сразу получаем
Отсюда 22002 = 4 · 21280 · 2640 · 280 = 4 · ...176·...176 · ...776 = 4 · ...976 · ...776 =...504.
В последней строке пользуемся тем, что 1762=...976.
Третье решение. Несложно вычислить следующее:
| 210 = ... 024, |
| 2100 = ((... 24)3 )3 · ... 24 = ... 376, |
| 376 · 376 = ... 376, |
| 22002 = 22 · (2100)20 = 4 · ... · 376 = ... 504. |
Общий подход. Имеет место соотношение 22k ·22k=22k+1. Следовательно, путем нескольких умножений трехзначных чисел можно получить
220 = 2, 221 = 4, 222 = 16, 223 = 256, 224 = ...536, 225 = ...296,Раскладывая 2002 по степеням двойки:
Проведя несколько умножений, получим, что последние три цифры — 504.
а) 4; б) 504.