Архив задач олимпиады по математике и криптографии

Замостить решетку

Имеется клетчатая бумага неограниченных размеров со стороной клетки, равной 1. Шаблоном размера k называется всякая плоская фигура, составленная путем соединения концами друг с другом k параллельных или перпендикулярных отрезков длины 1. Если существует отрезок длины 0,5, полностью размещаемый на шаблоне, то точки шаблона, общие с точками между концами этого отрезка, называются внутренними.

Найдите все шаблоны, которыми можно покрыть все линии клетчатой бумаги (шаблоны можно поворачивать и переворачивать). При покрытии разрешается использовать шаблоны одного вида, причем никакие два шаблона не могут иметь общих внутренних точек.

    а) k=2;
    б) k=3.