Архив задач олимпиады по математике и криптографии
Поворотная решетка
Ключом шифра, называемого "поворотная решетка", является трафарет, изготовленный из квадратного листа клетчатой бумаги размера n×n (n - четно). Некоторые из клеток вырезаются. Одна из сторон трафарета помечена. При наложении этого трафарета на чистый лист бумаги четырьмя возможными способами (помеченной стороной вверх, вправо, вниз, влево) его вырезы полностью покрывают всю площадь квадрата, причем каждая клетка оказывается под вырезом ровно один раз. Буквы сообщения, имеющего длину n2, последовательно вписываются в вырезы трафарета, сначала наложенного на чистый лист бумаги помеченной стороной вверх. После заполнения всех вырезов трафарета буквами сообщения трафарет располагается в следующем положении и т. д. После снятия трафарета на листе бумаги оказывается зашифрованное сообщение. Найдите число различных ключей для произвольного четного числа n.
Все клетки квадрата размера n×n разобьем на непересекающиеся группы по четыре клетки в каждой. Отнесем клетки к одной и той же группе, если при каждом повороте квадрата до его самосовмещения они перемещаются на места клеток этой же группы. На рисунке показано такое разбиение на группы всех клеток квадрата 6×6, причем клетки одной группы помечены одной и той же цифрой. Всего таких групп будет n2/4 (целое, так как n - четное число). При наложении трафарета на квадрат ровно одна клетка из каждой группы окажется под его вырезами. Каждому трафарету поставим в соответствие упорядоченный набор всех клеток из таких групп, оказавшихся под вырезами трафарета при наложении его на квадрат помеченной стороной вверх. Такое соответствие является взаимнооднозначным, поскольку каждому ключу будет однозначно соответствовать упорядоченный набор из n2/4 клеток (по одной из каждой группы), вырезанных в трафарете, и наоборот. Всего таких наборов 4n2/4. В самом деле, существует ровно четыре различных варианта выбора клетки из каждой группы независимо от выбранных клеток из других таких групп.