Из треугольника квадрат

Равносторонний треугольник ABC разбит на четыре части так, как показано на рисунке, где M и N - середины сторон AB и BC соответственно. Известно, что РК^MQ и NL^MQ. В каком отношении точки Р и Q делят сторону AC, если известно, что из этих частей можно составить квадрат?

• Решение

Решение



3.6. Обозначения понятны из рис. .
1) MK₁P₁B центрально симметричен MKPA относительно M.
2) NL₁Q₁B центрально симметричен NLQC относительно N.
3) P₁K₂Q₁=PKQ (параллельный перенос).
4) LK₁K₂L₁  - квадрат.
5) MT^AC , NS^AC .
6) PMT=QNS (MT=NS, PM=QN, РT=РS=90^°).
7) Без ограничения общности AB=BC=CA=1.
8) PT=QS=x, AP=[1/4]-±x, PQ=[1/2] , QC=[1/4]±x.
9) PMK=NQL (PM=QN, РM =РQ, РK=РL=90^°) Ю MK=QL.
10) MQ=ML+LQ=ML+MK = ML+K₁M=K₁L=y.
11) Площадь ABC=[(Ц3)/4] равна площади LK₁K₂L₁=y², y=[(⁴ Ц3)/2].
12) MT=[(Ц3)/4] (половина высоты ABC).
13) QT=PQ-PT=[1/2]-±x.
14) MQ²=MT²+QT² (теорема Пифагора), т. е.



15)

                        

Замечание. Точки P и Q можно построить с помощью циркуля и линейки. Подумайте, как это можно сделать.

• Ответ

Ответ

 .