Неравенство-3

• Решение

Решение

Из однородности всех членов следует, что неравенство эквивалентно неравенству a³+b³+c³+6abc > 1/4 при условии a+b+c=1, a > 0, b > 0, c > 0.

Пусть с - минимальное из чисел a,b,c (0 < c ≤ 1/3) и a=x. Тогда




A = a3+b3+c3+6abc-1/4 =




=x3+(1-c-x)3+c3+6x(1-c-x)c-1/4=3(1-3c)x2-3(1-c)(1-3c)x+(1-c)3+c3-1/4.

Находим минимум квадратного трехчлена с параметром с и положительным коэффициентом при х². Минимум достигается в точке x=(1-c)/2, при этом значение A будет положительным.
• Ответ

Ответ

Что и требовалось доказать.