Архив задач олимпиады по математике и криптографии
Эмблема
На рисунке изображена эмблема олимпиады. Она представляет собой замкнутую ленту, сложенную так, что образовавшиеся просветы являются одинаковыми равносторонними треугольниками. Если в некотором месте ленту разрезать перпендикулярно к ее краям и развернуть, то получится прямоугольник. Найдите минимальное отношение его сторон.
Проведем прямые, проходящие через точки пересечения границ сложенной ленты параллельно ее краям. Очевидно, что тогда лента разобьется на равные равносторонние треугольники. Отметим цифрой 0 все просветы, а цифрой 2 все треугольники, которые получились наложением друг на друга двух треугольников в сложенной ленте. Построим дополнительно ряд треугольников вне эмблемы, как показано на рисунке. В полученной фигуре число треугольников, отмеченных цифрой 2, равно числу треугольников, отмеченных цифрой 0. Поэтому площадь всей ленты равна площади трапеции ABCD. Количества треугольников в горизонтальных рядах ABCD являются 9 последовательными членами арифметической прогрессии с первым членом, равным 3 (нижний ряд), и разностью 2. Следовательно, общее число треугольников равно
N=
2·3+(9-1)·2
2
·9 = 99.
Если h - ширина ленты, то площадь одного равностороннего треугольника с высотой h равна
S0=h2ctg60°=h2/Ц3.
С другой стороны, если длина прямоугольника, полученного после разрезания ленты, равна l, то S = lh.
