Архив задач олимпиады по математике и криптографии
Функция с тремя условиями
Найдите все такие функции f(x), которые одновременно удовлетворяют трем условиям: 1) f(x)>0 для любого x<0; 2) f(1)=-2; 3) f(a+b)∙(f(a)+f(b))=2f(a)∙f(b)+4a²+4b² для любых a,b∈R.
В тождестве из условия задачи
f(a+b)∙(f(a)+f(b))=2f(a)∙f(b)+4a²+4b² (1)
положим a=1,b=0. Тогда f(1)∙(f(1)+f(0))=2f(1)∙f(0)+4. Поскольку f(1)=-2, находим
f(0)=0. (2)
Положив затем b=-a в (1), получим, с учетом (2), что
f(a)∙f(-a)=-4a². (3)
Наконец, при b=0 тождество (1) (с учетом (2)) примет вид f(a)∙f(a)=4a².
Значит необходимо, чтобы f(a)=-2a при a<0, так как по условию f(x)>0 для x<0. Далее, согласно (3), f(a)=-2a и при a>0. Окончательно, f(x)=-2x для любого x∈R. Легко убедиться, что такая f(x) действительно удовлетворяет требованиям 1), 2), 3) из условия задачи.