Архив задач олимпиады по математике и криптографии
Коммуникатор
Разблокировка коммуникатора осуществляется вводом 4-значного числового кода на сенсорном экране. На клавиатуре первоначальная расстановка цифр после ввода кода меняется в зависимости от случайного простого числа от 7 до 2017, и на месте цифры отображается значение равное последней цифре числа . Пользователь вводит цифры из левой колонки левой рукой, а остальные правой. Восстановите код блокировки, если известно, что при наборе кода пользователь вводил цифры следующим образом:
Из признаков делимости на 2 и на 5 следует, что простое число не может оканчиваться на четную цифру и на цифру 5. Следовательно, такое простое число может оканчиваться лишь на цифры 1, 3, 7, 9. Обозначим, через – последнюю цифру числа , тогда ясно, что выполняется свойство: . Поэтому раскладка клавиатуры определяются лишь указанными последними цифрами – 1, 3, 7, 9. Таким образом, возможны 4 варианта раскладки клавиатуры:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
3
6
9
2
5
8
1
4
7
0
7
4
1
8
5
2
9
6
3
0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Теперь несложно понять, что в условиях задачи следует рассматривать все раскладки:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
3
6
9
2
5
8
1
4
7
0
7
4
1
8
5
2
9
6
3
0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Первая цифра кода при находится в первом столбце, значит это 1, 4 или 7, при эта цифра лежит также в первом столбце – следовательно, она равна 7. Вторая цифра кода при лежит в первом столбце, значит это 7, 8 или 9. Во всех остальных раскладках она лежит в других столбцах (2 -ом или 3-ем). Как видно, таким свойством обладает только цифра 8. Аналогичным образом рассуждая, придем к тому, что единственной комбинацией, удовлетворяющей условиям задачи, будет 7832.
: правой, правой, левой, правой.