Архив задач олимпиады по математике и криптографии

Ключи в виде уравнений для четверых, 11 кл.

Каждому из четырех абонентов A1,A2,A3,A4 надо выдать по два уравнения вида aw+bx+cy++dz=t, где a,b,c,d,t,w,x,y,z∈{0,1}. Значения секретных битов w,x,y,z одинаковы для всех абонентов и им заранее неизвестны. Приведите хотя бы один пример уравнений, которые надо выдать этим четырем абонентам, чтобы каждая пара {A1,A3},{A1,A4},{A2,A3} могла достоверно вычислить w,x,y,z, но чтобы при этом: 1) ни одна другая пара абонентов не могла бы достоверно вычислить более одного секретного бита; 2) ни один абонент в одиночку не был в состоянии достоверно вычислить даже один секретный бит. Например, если абонент A1 получит уравнения {w+x+y+z=1; w+x+0∙y+0∙z=1}, а A2 – {w+0∙x+y+0∙z=0; w+x+0∙y++z=0}. Тогда, объединившись, из имеющихся в их распоряжении четырех уравнений они однозначно найдут, что w=1,x=0,y=1,z=1. При этом будем говорить, что пара абонентов {A1,A2} может достоверно вычислить секретные биты w,x,y,z. Здесь традиционно полагается, что 1+1=0.