Архив задач олимпиады по математике и криптографии

Восстановление бита

Известно, что три числа a1, a2, a3 были получены следующим образом. Сначала выбрали натуральное число A и нашли числа A1= [A]16,  A2= [A/2]16, A3= [A/4]16, где [X]16   – остаток от деления целой части числа X на 16 (например, [53/2]16 = 10). Затем было выбрано целое число  B такое, что 0 ≤ B ≤ 15 . Числа  A1, A2, A3 и B  записывают в двоичной системе  счисления, т.е. представляют каждое из них в виде цепочки из 0 и 1 длины 4, приписывая слева необходимое число нулей. Такие цепочки условимся складывать посимвольно  «в столбик» без переносов в следующий разряд согласно правилам: 1+1 = 0+0 = 0  и 1+0 = 0+1 = 1 , а саму операцию посимвольного сложения обозначим символом ⊕. Например, 3 ⊕ 14 = (0, 0, 1, 1)  ⊕ (1, 1, 1, 0) = (1, 1, 0, 1) = 13. Положим  a1 = A1⊕B,  a2 = A2⊕B,   a3 = A3⊕B. Найдите все возможные значения числа  a3, если известно, что  a1 = 4 ,  a2 = 10..