Пусть N – искомое количество отрезков. Вначале найдем N для n=2,3,4. n Целые числа отрезка [a
1,a
n ]. (Числа a
k выделены жирным.) Отрезки с разноцветными концами различной длины Искомое количество отрезков N 2 1 2 3 [1,2] 1 3 1 2 3 4 5 6 [1,2], [3,5], [1,4], [1,5] 4 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [1,2], [3,5], [1,4], [1,5],[3,8], [1,7], [1,8], [1,9] 8 Сделанные наблюдения позволяют предположить, что N=a
n-2. То есть при фиксированном n имеются отрезки с разноцветными концами любой длины от 1 до a
n-2 включительно. Докажем это, предполагая n>2. Заметим, что отрезок длины a
n-1 построить невозможно, так как точки a
1 и a
n одного цвета. Значит N≤a
n-2. Отрезки длины 1 и a
n-2, очевидно, построить можно – это отрезки [1,2] и [1,a
n-1]. Покажем, что для любого натурального m такого, что 1
n-2, существует отрезок с разноцветными концами длины m. Действительно, рассмотрим отрезки длины m вида [a1,a1+m] и [a 2,a2+m]. Их левые концы окрашены в белый цвет. При этом их правые концы a1+m и a2+m находятся друг от друга на расстоянии 2, а значит оба окрашенными в белый цвет они быть не могут, так как, по условию, расстояние между соседними белыми точками увеличивается с ростом n, и на расстоянии 2 друг от друга лежат только две белые точки a1=1 и a2=3. Значит, хотя бы один из отрезков [a1,a1+m], [a 2,a2+m] имеет концы разных цветов. Таким образом, формула N=an-2 доказана. Осталось получить явную зависимость an от n. Для этого данные в условии равенства a1=1,a2=a1+2=3,…,an=an-1+n сложим между собой. В результате получим a1+⋯an-1+ an=a1+⋯an-1+1+⋯+n ⟺ an=1+⋯+n=n(n+1)/2. 
