Архив задач олимпиады по математике и криптографии
Построить уравнение третьей степени
Известно, что уравнения x3-x-1=0 имеет единственный действительный корень x0. Придумайте хотя бы одно уравнение вида
a∙z3+b∙z2+c∙z+d=0,
где a,b,c,d – целые числа и a≠0, одним из корней которого было бы число
z=x02+3∙x0+1.
Запишем соотношения:
(z=x02+3∙x0+1·z∙x0=x03+3∙x02+x0·z∙x02=x04+3∙x03+x02.)
Правые части можно упростить (привести по модулю x03-x0-1), воспользовавшись тем, что x03=x0+1.
В результате получим:
(z=x02+3∙x0+1·z∙x0=3∙x02+2∙x0+1·z∙x02=2∙x02+4∙x0+3.)
Первые два равенства можно рассматривать как систему линейных уравнений с двумя неизвестными
x0 и x02.
Решив ее, найдем
x0=(3z-2)/(z+7),x02=(z2-3z-1)/(z+7).
Подставив эти соотношения в последнее равенство, получим искомое уравнение относительно z.