В одноэтажном здании стоит 2013 компьютеров. Они объединены в последовательную сеть топологии кольцо. План расположения кабелей – это 2013-угольный невыпуклый многоугольник. Нарушители имеют в распоряжении этот план и у них имеется возможность, не вызывая подозрений, проложить кабель п
о одной прямой линии для подсоединения к проводам сети (прямая не проходит через точки подсоединения компьютеров).
Смогут ли нарушители проложить кабель так, чтобы полностью контролировать обмен информации в сети? Ответ обоснуйте.
План расположения кабелей представляет собой 2013 угольный невыпуклый многоугольник, где соединения между компьютерами соответствуют рёбрам, а вершины – компьютерам. Рёбер в многоугольнике 2013, поскольку количество рёбер и вершин одинаково. Задачу можно переформулировать следующим образом: Возможно ли провести прямую так, что она пересечёт все ребра невыпуклого многоугольника не проходя при этом через вершины многоугольника?
Предположим, что это можно сделать. Прямая всякий раз пересекая сторону многоугольника переходит из части плоскости вне многоугольника во внутреннюю часть многоугольника или наоборот. Первый раз прямая пересекает сторону и оказывается внутри многоугольника, затем пересекая следующую сторону попадает опять во внешнюю часть. Таким образом при пересечении чётного количества рёбер прямая попадает во внешнюю часть плоскости и значит возможна ситуация, когда прямая пересечёт все стороны. При нечётном количестве рёбер – она неизбежно окажется во внутренней части и никогда не окажется во внешней. В нашем случае количество рёбер нечётно и значит пересечь все ребра не представляется возможным.