Архив задач

Тир в Криптоландии

В Криптоландии в тире действуют следующие правила. Перед началом стрельбы стрелок приобретает 100 патронов. На мишени нарисованы три концентрические окружности радиусов 3, 6 и 12 сантиметров. За попадание в круг, ограниченный первой из них, даётся 3 очка и 4 дополнительных патрона. За попадание в кольцевую область между первой и второй окружностями даётся 2 очка и 3 дополнительных патрона. За попадание в зону между второй и третьей окружностями даётся одно очко и 2 дополнительных патрона. Если стрелок не попал в мишень, то ни очков, ни дополнительных патронов он не получает. Считаем, что в границы кругов стрелок не попадает. Стрельба заканчивается, когда у стрелка не остаётся ни одного патрона. Юра пошёл в тир и завершил стрельбу, допустив 2023 промаха. Сколько очков набрал Юра?

  • Подсказка

    • Подсказка

    Из выражения, приравнивающего количество полученных и потраченных патронов, выразить искомую величину (количество набранных очков). Она является линейной комбинацией чисел выстрелов, результатом которых было получение одного, двух и трех очков.
  • Решение

    • Решение

    Обозначим N=2023, k=100. Пусть - числа выстрелов, результатом которых было получение 1, 2 и 3 очков соответственно. Тогда общее число выстрелов m равно:
     .
    Каждый выстрел имеет результат, который может быть равен 0, 1, 2 и 3 очкам. При этом с каждым результатом связано определённое число выстрелов, а именно: 
    1. Если был промах, то этот результат не даёт дополнительных выстрелов, и с ним связан единственный выстрел, который и дал промах; 
    2. Если было получено одно очко, то с этим результатом связано 3 выстрела, а именно, тот, который дал этот результат, и плюс два дополнительных премиальных; 
    3. Если было получено 2 очка, то с этим результатом связано 4 выстрела: один – который дал результат, и 3 премиальных. 
    4. Если было получено 3 очка, то с этим результатом связано 5 выстрелов (аналогичные рассуждения: один исходный +4 премиальных). 
    Теперь если мы составим сумму
     
    то мы сосчитаем каждый выстрел ровно 2 раза, то есть, 
     
    откуда получаем число очков, полученных Юрой:
  • Ответ

    • Ответ

    1923.