Докажите, что для любого натурального числа n существует натуральное число N такое, что произведение представляет собой палиндром, то есть число, десятичная запись которого справа налево и слева направо читается одинаково. Например, для n=1 можно взять N=13, так как .
1. Если натуральное число делится на , а его десятичная запись содержит не менее n цифр, то, приписав к нему слева произвольные цифры, вновь получится делящееся на число.
2. Деление на 9 обеспечивается выбором нужной центральной цифры числа-палиндрома.
Будем использовать следующий факт. Пусть натуральное число B делится на , а его десятичная запись содержит не менее n цифр, то есть и . Тогда, приписав к десятичной записи числа B произвольные цифры слева, вновь получим делящееся на число, а именно: число также делится на , так как .
Пусть десятичная запись числа имеет вид . Очевидно, что . Существует нечётное число C такое, что десятичная запись произведения содержит более n цифр. Например, , тогда , а запись числа содержит n+1 цифру. (Из нечетности C следует неравенство , что далее существенно).
Рассмотрим число-палиндром , в котором цифру x выберем так, чтобы сумма всех цифр числа V делилась на 9 (тогда и само V делится на 9). Согласно рассуждениям выше, число V делится на , а значит, для справедливо равенство . Таким образом, существование натурального N доказано.