Выполним преобразования
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{ \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{{\sin \frac{x}{3}}} + \frac{1}{{\sin \frac{{8x}}{3}}} > \frac{{\sin 2x + \sin x}}{{\sin x\sin 2x}}\quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{{\sin \frac{x}{3}}} + \frac{1}{{\sin \frac{{8x}}{3}}} > \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\sin 2x}}. })
По условию
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{ x \in \left( {0,\;\frac{{3\pi }}{8}} \right)
})
. Следовательно, числа
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{ \frac{x}{3},\;x,\;2x,\;\frac{{8x}}{3}
})
лежат на интервале
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{ \left( {0,\;\pi } \right)
})
. Рассмотрим функцию
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{ f(x) = \frac{1}{{\sin x}} })
. Ее вторая производная
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{ f''(x) = \frac{{2\cos ^2 x}}{{\sin ^3 x}} + \frac{1}{{\sin x}}
})
положительна для всех
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{ x \in \left( {0,\;\pi } \right)
})
, значит, на этом интервале функция выпукла вниз. На координатной плоскости отметим точки
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{ A\left( {\frac{x}{3},\;f\left( {\frac{x}{3}} \right)} \right),\;B\left( {\frac{{8x}}{3},\;f\left( {\frac{{8x}}{3}} \right)} \right),\;C\left( {x,\;f\left( x \right)} \right) })
и
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{ \;D\left( {2x,\;f\left( {2x} \right)} \right). })
Левая часть последнего неравенства – сумма ординат точек A и B или, что то же самое, – удвоенная ордината точки K – середины отрезка AB. Аналогично, правая часть последнего неравенства – удвоенная ордината точки M – середины CD. Поскольку f(x) выпукла вниз, весь отрезок AB расположен «выше» отрезка CD, а значит, ордината точки K больше ординаты точки M. Неравенство доказано.