5.11.2000
Найти все действительные значения параметра
![{a}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{a})
, для которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.
- Подсказка
Подсказка
Выполнить стандартные тригонометрические преобразования, затем
обозначить
![{t=\frac{1}{4}\sin^2 2x}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{t=\frac{1}{4}\sin^2 2x})
и выразить
![{t}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{t})
через
![{a}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{a})
.
Получить отсюда ограничения на
![{a}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{a})
.
- Решение
Решение
Заметим, что
![{\sin ^6 x+ \cos ^6 x=(\sin ^2 x+ \cos ^2 x)(\sin ^4 x+ \cos ^4 x - \sin^2 x\cos^2 x)=\sin ^4 x+ \cos ^4 x - \sin^2 x\cos^2 x}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{\sin ^6 x+ \cos ^6 x=(\sin ^2 x+ \cos ^2 x)(\sin ^4 x+ \cos ^4 x - \sin^2 x\cos^2 x)=\sin ^4 x+ \cos ^4 x - \sin^2 x\cos^2 x})
, а
![{\sin ^4 x+ \cos ^4 x=(\sin ^2 x+ \cos ^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{\sin ^4 x+ \cos ^4 x=(\sin ^2 x+ \cos ^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x})
. Обозначая теперь
![{t=\sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{4}\sin^2 2x}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{t=\sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{4}\sin^2 2x})
, имеем:
Уравнение будет иметь решение относительно
![{x}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{x})
тогда и только тогда,
когда
![{0\le t \le \frac{1}{4}}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{0\le t \le \frac{1}{4}})
. Остается решить двойное неравенство
относительно
![{a}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{a})
:
Решение проводится стандартным способом, ответ:
![{\frac{1}{2}\leq a <1}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{\frac{1}{2}\leq a <1})
.
- Ответ
Ответ
![{\frac{1}{2}\leq a <1}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{\frac{1}{2}\leq a <1})
.