Решение
1. Рассмотрим скрещивающиеся ребра тетраэдра
![{AD}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi? {AD})
и
![{BC.}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi? {BC.})
Пусть
![{K}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi? {K})
- середина ребра
![{BC.}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi? {BC.})
Тогда прямые
![{AK}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{AK})
и
![{DK}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{DK})
перпендикулярны ребру
![{BC}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{BC})
(поскольку они являются одновременно медианами, биссектрисами и высотами в равносторонних треугольниках). Значит, прямая
![{BC}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi? {BC})
перпендикулярна плоскости
![{ADK.}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi? {ADK.})
Окончательно получаем, что ребра тетраэдра
![{AD}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{AD})
и
![{BC}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{BC})
перпендикулярны.
2. Поместим тетраэдр в коробку так, чтобы его ребра
![{AD}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{AD})
и
![{BC}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{BC})
были параллельны ребрам основания коробки. Это можно сделать, так как:
- выше доказано, что
![{AD}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{AD})
и
![{BC}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{BC})
перпендикулярны,
- длина этих ребер (12 см) меньше длин основания коробки (13 и 15 см).
3. Осталось проверить, что расстояние между
![{AD}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{AD})
и
![{BC}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{BC})
меньше высоты коробки (9 см). Нетрудно заметить, что расстояние между
![{AD}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi? {AD})
и
![{BC}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{BC})
равно высоте треугольника
![{ADK.}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi? {ADK.})
Данный треугольник является равнобедренным с основанием
![{AD=12}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi? {AD=12})
и боковыми сторонами
![{AK=DK.}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi? {AK=DK.})
Отрезки
![{AK}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{AK})
и
![{DK}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{DK})
являются высотами равностороннего треугольника со стороной 12, откуда
Теперь расстояние
![{x}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{x})
между ребрами
![{AD}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{AD})
и
![{BC}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{BC})
вычисляем как длину высоты в треугольнике
4. Поскольку
![{6\sqrt2<9,}](http://fsrbit.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?{6\sqrt2<9,})
то тетраэдр можно уместить в коробку.