Решение
Решим сначала первую часть задачи. Пусть

- различные пять натуральных чисел и

- их остатки от деления на 3 соответственно. Возможны следующие два случая: а) среди чисел

есть хотя бы три одинаковых, тогда сумма этих трех чисел делится на три; б) среди чисел

нет трех одинаковых, а значит, найдутся три различных числа, имеющие остатки 0, 1 и 2 и тогда их сумма делится на три. Докажем теперь второе утверждение задачи. Пусть

- любые двадцать пять натуральных чисел. Будем считать, что они упорядочены по возрастанию. Сгруппируем их последовательно по 5 штук:
В каждой пятерке по первой части задачи найдется три различных числа, сумма которых делится на три, выпишем их:
Рассмотрим пять различных натуральных чисел:
, \bar w = \frac{1}{3}(w_1+w_2+w_3), \dots, \bar z = \frac{1}{3}(z_1+z_2+z_3).})
Среди этих пяти чисел по доказанной первой части задачи найдутся три различных числа, пусть a, b, c, сумма которых делится на три. Каждое из чисел a, b, c есть

от суммы трех некоторых различных чисел из набора

тогда a + b + c есть

от суммы некоторых девяти различных чисел из этого же набора. Отсюда из свойств делимости целых чисел следует, что сумма этих девяти чисел делится на 9.