Архив задач олимпиады по математике и криптографии

Группы или квази?

Для входа в университет Криптоландии у каждого студента есть карточка, на которой записана уникальная (у каждого студента своя) последовательность x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 из целых чисел от 0 до 5. При входе в университет студент прикладывает карточку к устройству, которое подсчитывает величины A и B по формулам: A = ((x1 ∗ x2) ∗ x3) ∗ x4, B = (x5 ∘ x6) ∘ x7. Операции ∗ и ∘ задаются таблицами (представляющими собой латинские квадраты: у них в каждой строке и каждом столбце числа не повторяются). Например, 3 ∗ 2 = 3, 2 ∘ 4 = 2. Студенту разрешат войти, если A = B. Сколько самое большое может быть студентов в таком университете?
∗012345
0234105
1451023
2345210
3023451
4102534
5510342

∘012345
0421053
1503241
2351024
3132405
4245310
5014532

  • Решение

    • Решение

    Если код составлен из чисел от 0 до m − 1, то для каждого числа л∈ {0, … ,m − 1} число последовательностей x1, x2, x3, x4, для которых A = k, равно m3 , так как при любых заданных x1, x2, x3 значение x4 определяется в этом случае однозначно. Аналогично, число последовательностей x5, x6, x7, для которых B = k, равно m2. Тогда общее число последовательностей x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, для которых A = B = k, равно m3m2 = m5. Суммируя по k от 0 до m − 1, получаем ответ: m6.
  • Ответ

    • Ответ

    66.