Найдите какие-нибудь целые числа A и B, для которых выполняется неравенство: 0,999
- Решение
Решение
Заметим, что если число вида x+y∙√2, где x,y целые, возвести в целую неотрицательную степень n, то вновь получим число такого же вида, т.е. (x+y∙√2)n=x1+y1∙√2, где x1 и y1 опять же целые. Положительное число √2-1, очевидно, меньше 1. Значит, возводя его в достаточно большую степень, можно получить число сколь угодно малое. Найдем такое натуральное n, что (√2-1)n<0,001. Поскольку (√2-1)n<1/2n , то, очевидно, достаточно взять n=10, так как 1/2^10 =1/1024<1/1000=0,001. Остается возвести √2-1 в 10-ю степень. Находим:
(√2-1)2=3-2√2,(√2-1)4=(3-2√2)2=17-12√2, (√2-1)8=(17-12√2)2=577-408√2, (√2-1)10=(√2-1)8∙(√2-1)2=(577-408√2)∙(3-2√2)=3363-2378√2.
Таким образом 0,999<1- (√2-1)10<1. Поэтому можно взять A=-3362,B=2378.
Замечание. Приведенная в решении оценка очень грубая. На самом деле, уже (√2-1)8==577-408√2≈0,000867<0,001. Но (√2-1)7≈0,002>0,001.
- Ответ
Ответ
Например, A=-3362,B=2378.