При каких значениях параметра a уравнение
a·(x6-2x3+1)+(a+1)·|x3-1|-2a=2
имеет ровно четыре различных решения?
Сделаем замену переменных y=|x3-1|. Во-первых, рассмотрев график функции y=|x3-1| (или любым другим стандартным способом), можно сделать вывод, что
Теперь решим уравнение a·y2+(a+1)·y-2(a+1)=0.
Нам необходимо найти значения параметра a, при которых данное уравнение имеет ровно два решения, лежащие в множестве (0;+∞). (Только при таких условиях исходное уравнение будет иметь четыре решения).
(a+1)2+8a(a+1)>0, | |
a·02+(a+1)·0-2(a+1)>0, | |
a+1 | |
- ——>0. | |
2a |
(Здесь применяются факты о расположении корней квадратного трехчлена)
Решим эту систему при условии, что a>0.
9a2+10a+1>0, | |
a< -1, | |
a+1 | |
- ——>0. | |
2a |
Второе неравенство в системе противоречит условию a>0.
(a+1)2+8a(a+1)>0, | |
a·02+(a+1)·0-2(a+1)<0, | |
a+1 | |
- ——>0. | |
2a |
(Здесь также применяются факты о расположении корней квадратного трехчлена)
Решим эту систему при условии, что a<0.
9a2+10a+1>0, | (9a+1)(a+1)>0 | |||
a> -1, | a> -1, | a> -1/9, | ||
1 | ||||
-a-1<2a, | a> - —, | a> -1/3, | ||
3 |